强大数定律 |
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强大数定律
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在概率论中强大数定律是一个著名结果，是近代统计学的基础。它表征的结论是随机变量序列以概率1收敛，而通常的弱大数定律表征的是依概率收敛。前者可以推出后者。 目录 1 概念 2 Kolmogorov 强大数定律 3 独立同分布场合 4 Borel 强大数定律 5 四阶矩条件 6 与弱大数定律 概念[]设有随机变量序列 { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} ，如果存在一个常数 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 使得下式成立 P { lim n → ∞ ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = a } = 1 , ( ∗ ) {\displaystyle P\left\{\lim _{n\to \infty }\left({\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=a\right\}=1,\quad (*)} 我们就说随机变量序列 { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 服从强大数定律。如果将 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 式换为存在一个常数序列 { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} ， ∀ ε > 0 , lim n → ∞ P { | 1 n ∑ i = 1 n X i − a n | ∗ ) {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\lim _{n\to \infty }P\left\{\left|{\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-a_{n}\right| 就是弱大数定律。 Kolmogorov 强大数定律[]使用最广泛的强大数定律版本是由 Kolmogorov 导出的一个通用版本，它是说： 设 { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }} 是相互独立的随机变量序列，且 ∑ n = 1 ∞ D X n n 2 ∞ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − E X i ) = 0 } = 1. {\displaystyle P\!\left\{\lim _{n\to \infty }{\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-EX_{i})=0\right\}=1.} 独立同分布场合[]进一步，在独立同分布的假定下，下式 1 n ∑ i = 1 n X i ⟶ a.s. a {\displaystyle {\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}a} 的充要条件是 E X i {\displaystyle EX_{i}} 存在且等于 a . {\displaystyle a.}这表明， n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时样本均值将“几乎”趋近于总体均值，这样的论断失效的情况仅发生在一个零测集上，概率为零。 Borel 强大数定律[]设 μ n {\displaystyle \mu _{n}} 是事件 A {\displaystyle A} 在 n {\displaystyle n} 此独立试验中的出现次数，在每次试验中事件 A {\displaystyle A} 出现的概率均为 p {\displaystyle p} ，那么当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时成立 P { μ n n → p } = 1. {\displaystyle P\!\left\{{\dfrac {\mu _{n}}{n}}\to p\right\}=1.} 由 Kolmogorov 强大数定律来看这是直接能得到的，但是这种情形先于 Kolmogorov 强大数定律证明。证明借助 Markov 不等式以及 Borel-Cantelli 引理得到如下估计式 P { | μ n n − p | ⩾ ε } ⩽ 1 4 ε 4 n 2 . {\displaystyle P\!\left\{\left|{\dfrac {\mu _{n}}{n}}-p\right|\geqslant \varepsilon \right\}\leqslant {\dfrac {1}{4\varepsilon ^{4}n^{2}}}.} 这个结果是 Borel 在正规数的研究中证明的。 四阶矩条件[]一个独立同分布的随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。 他的证明与 Borel 强大数定律相仿。 与弱大数定律[]强大数定律表征的结论是随机变量序列以概率1收敛性，而通常的弱大数定律表征的是依概率收敛性。前者可以推出后者但后者不能推出前者。以下便是一个成立弱大数定律而不成立强大数定律的例子。 假设独立同分布的随机变量序列 { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }} 满足 P { X 1 = n } = P { X 1 = − n } = C n 2 ln n , n = 3 , 4 , 5 , ⋯ . {\displaystyle P\{X_{1}=n\}=P\{X_{1}=-n\}={\dfrac {C}{n^{2}\ln n}},\quad n=3,4,5,\cdots .} 其中常数 C = 1 2 ( ∑ n = 3 ∞ 1 n 2 ln n ) − 1 . {\displaystyle C={\dfrac {1}{2}}\left(\sum _{n=3}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{2}\ln n}}\right)^{-1}.} 可以验证 E | X 1 | = ∞ {\displaystyle E|X_{1}|=\infty } 因此 Kolmogorov 强大数定律不成立，但是弱大数定律 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} 成立。 极限理论（学科代码：1106430，GB/T 13745—2009） 收敛性 随机变量序列 ▪ 概率收敛性 大数定律 大数定律 ▪ 强大数定律 ▪ Kolmogorov 不等式 ▪ Kolmogorov 强大数定律 ▪ Hajek-Renyi 不等式 ▪ Slutsky 引理 ▪ Borel-Cantelli 引理 极限定理 中心极限定理 ▪ Lindeberg-Feller 定理 ▪ Lyapunov 定理 所在位置：数学（110）→ 概率论（11064）→ 极限理论（1106430） |
，如果存在一个常数
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
使得下式成立
我们就说随机变量序列
{
X
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
式换为存在一个常数序列
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
，
是相互独立的随机变量序列，且
独立同分布场合[]
的充要条件是
E
X
i
{\displaystyle EX_{i}}
存在且等于
a
.
{\displaystyle a.}
时样本均值将“几乎”趋近于总体均值，这样的论断失效的情况仅发生在一个零测集上，概率为零。
是事件
A
{\displaystyle A}
在
n
{\displaystyle n}
此独立试验中的出现次数，在每次试验中事件
A
{\displaystyle A}
，那么当
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
由 Kolmogorov 强大数定律来看这是直接能得到的，但是这种情形先于 Kolmogorov 强大数定律证明。证明借助 Markov 不等式以及 Borel-Cantelli 引理得到如下估计式
P
{
|
μ
n
n
−
p
|
⩾
ε
}
⩽
1
4
ε
4
n
2
.
{\displaystyle P\!\left\{\left|{\dfrac {\mu _{n}}{n}}-p\right|\geqslant \varepsilon \right\}\leqslant {\dfrac {1}{4\varepsilon ^{4}n^{2}}}.}
这个结果是 Borel 在正规数的研究中证明的。
四阶矩条件[]
其中常数
C
=
1
2
(
∑
n
=
3
∞
1
n
2
ln
n
)
−
1
.
{\displaystyle C={\dfrac {1}{2}}\left(\sum _{n=3}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{2}\ln n}}\right)^{-1}.}
可以验证
E
|
X
1
|
=
∞
{\displaystyle E|X_{1}|=\infty }
因此 Kolmogorov 强大数定律不成立，但是弱大数定律
(
∗
∗
)
{\displaystyle (**)}
成立。
极限理论（学科代码：1106430，GB/T 13745—2009）
收敛性
随机变量序列 ▪ 概率收敛性
大数定律
大数定律 ▪ 强大数定律 ▪ Kolmogorov 不等式 ▪ Kolmogorov 强大数定律 ▪ Hajek-Renyi 不等式 ▪ Slutsky 引理 ▪ Borel-Cantelli 引理
极限定理
中心极限定理 ▪ Lindeberg-Feller 定理 ▪ Lyapunov 定理
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